实数是数学中一个基础且重要的概念，其定义和性质如下：
一、定义
实数是有理数和无理数的总称，数学上与数轴上的点一一对应。具体来说：
有理数：
可以表示为两个整数之比（分数形式，如$frac{a}{b}$，其中$a$和$b$为整数，且$b neq 0$）。
无理数：
不能表示为两个整数之比的数，例如$pi$（圆周率）、$sqrt{2}$等。
二、实数的表示
有限小数：如0.5、3.14等。
无限循环小数：如$0.overline{3}$（等于$frac{1}{3}$）。
无限不循环小数：如$pi = 3.141592653589793ldots$、$sqrt{2} = 1.414213562373095ldots$。
三、实数的性质
与数轴的对应关系：
实数与数轴上的点一一对应，右边的点表示的数比左边的点大。
运算封闭性：
对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算封闭，即任意两个实数的运算结果仍为实数。
不可数性：
实数集是不可数的，无法与自然数集建立一一对应关系。
四、历史背景
古希腊数学家早期只认可有理数，但发现其无法精确表示某些几何量（如正方形对角线长度），17世纪后随着微积分的发展，实数概念逐渐完善。19世纪末，康托尔等人通过严格定义使实数理论体系化。
五、应用与意义
实数是分析学、几何学等数学分支的基础，广泛应用于物理、工程、经济等领域。例如，通过实数描述连续变化的过程（如运动轨迹、温度变化等）。
综上，实数通过有理数和无理数的结合，构建了连续的数值体系，是现代数学的基石之一。
