数学根号i等于什么公式

关于虚数单位 $i$ 的平方根，其结果需要根据复数的性质进行计算。以下是详细的解析：

一、平方根的求解过程

设定复数形式

设 $sqrt{i} = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 为实数。

平方后等式成立

根据平方根的定义，有 $（a + bi）^2 = i$。展开后得到：

$$

a^2 - b^2 + 2abi = i

$$

由此可得两个方程：

$$

begin{cases}

a^2 - b^2 = 0

2ab = 1

end{cases}

$$

解方程组

由 $a^2 - b^2 = 0$ 可得 $a = b$ 或 $a = -b$。

- 若 $a = b$，代入 $2ab = 1$ 得 $2a^2 = 1$，解得 $a = b = pm frac{sqrt{2}}{2}$。

- 若 $a = -b$，代入 $2ab = 1$ 得 $-2a^2 = 1$，无实数解。

因此，虚数单位 $i$ 的平方根为：

$$

sqrt{i} = frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2}i quad text{或} quad sqrt{i} = -frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{2}i

$$

二、复数开方的通用方法

对于复数 $z = r（costheta + isintheta）$，其平方根为：

$$

sqrt{z} = sqrt{r}left(cosfrac{theta + 2kpi}{2} + isinfrac{theta + 2kpi}{2}right) quad (k = 0, 1)

$$

特别地，对于 $i = e^{ipi/2}$，其平方根为：

$$

sqrt{i} = e^{ipi/4} = frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2}i quad text{或} quad e^{i(5pi/4)} = -frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{2}i

$$

三、注意事项

多值性：

复数开方具有多值性，上述结果包含两个解，均符合 $（pm frac{sqrt{2}}{2} pm frac{sqrt{2}}{2}i）^2 = i$。

定义域限制：虚数单位 $i$ 本身无实数平方根，平方根运算需在复数域内定义。

综上，虚数单位 $i$ 的平方根公式为：

$$

sqrt{i} = pmleft(frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2}iright)

$$