为什么一致阵的秩为1

一致阵的秩为1，主要源于其结构特性和数学性质。以下是具体原因：

结构特征

一致阵（层次分析法中使用的矩阵）满足对称性（转置等于自身）且主对角线元素均为1。其任意两行（或列）成比例，例如第二行是第一行的3倍，这种线性相关性直接导致矩阵的秩为1。

线性相关性

矩阵的秩等于其线性无关行（或列）的最大数量。由于一致阵的行（或列）均成比例，仅存在一个线性独立的行（或列），其余行（或列）均可表示为该向量的倍数，因此秩为1。

特征值与特征向量

一致阵的唯一非零特征值为n（矩阵阶数），其余n-1个特征值为0。其任一列向量均为对应于特征值n的特征向量，进一步验证了矩阵的秩为1。

数学推导

通过初等行变换（如第二行减去第一行的3倍）可化简矩阵为仅含一个非零行的形式，直观展示其秩为1。此外，矩阵的化零多项式分析也支持这一结论。

综上，一致阵的秩为1是由其对称结构、线性相关行向量、特征值分布及数学推导共同作用的结果。