为什么a不能由b线性表出秩

当向量组A不能由向量组B线性表出时，关于秩的关系需要结合线性代数的基本理论来分析。以下是详细解释：

一、基本定理与性质

线性表出与秩的关系

若向量组A可由向量组B线性表出，则r（A） ≤ r（B）。这是因为A的线性无关向量都可以由B的极大无关组表示，A的秩不会超过B的秩。

反之不成立

若A不能由B线性表出，则r（A） ≤ r（B） 不一定成立。例如，A的秩可能小于B的秩，也可能等于B的秩（当B的秩小于向量空间的维数时）。

二、具体分析

A不能由B线性表出的情况

- 可能的情形一：

r（A） < r（B）

若A的秩小于B的秩，说明A张成的子空间维度小于B张成的子空间维度，B无法覆盖A。例如，在三维空间中，一个二维平面（秩2）无法包含一个三维向量（秩3）。

- 可能的情形二：r（A） = r（B）

即使A不能由B线性表出，A和B的秩仍可能相等。例如，在三维空间中，两个不平行的二维平面（秩2）无法相互覆盖，但它们的秩相同。

几何直观与代数证明

- 高维与低维：

高维空间（如三维）中的子空间（如平面）无法包含低维空间（如直线）。 - 线性无关性：若A的秩等于B的秩，但A不能由B表示，说明B的极大无关组不足以生成A的整个空间。

三、总结

充分条件：若A能由B线性表出，则r（A） ≤ r（B）。

必要条件：若r（A） < r（B），则A不能由B线性表出，但反之不一定成立。

因此，当A不能由B线性表出时，只能确定r（A） ≤ r（B），而不能确定具体大小关系，需结合具体向量组的维数和线性相关性进一步分析。