比值法和根植法是什么

比值法和根植法是数学中用于判断级数敛散性的两种方法，具体如下：

一、比值法

定义

通过计算级数相邻两项比值的极限来判断敛散性。若$lim_{n to infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} right| = L$，则：

- 当$L < 1$时，级数绝对收敛；

- 当$L > 1$时，级数发散；

- 当$L = 1$时，方法失效。

适用范围

主要用于正项级数，但可通过处理负项级数（提取绝对值后应用）扩展使用。

二、根植法（根值法）

定义

通过计算级数项的n次根的极限来判断敛散性。若$lim_{n to infty} sqrt[n]{|a_n|} = L$，则：

- 当$L < 1$时，级数绝对收敛；

- 当$L > 1$时，级数发散；

- 当$L = 1$时，方法失效。

优势

对于某些复杂级数（如含指数或幂次项的级数），根植法可能比比值法更易计算。

三、区别与联系

区别：

比值法关注相邻项的比值，根植法关注项的n次根；根植法在处理含指数项的级数时更有效。

联系：均基于等比级数的性质，当极限值相同时（如均为1），两种方法均失效。

四、示例

比值法：判断$sum_{n=1}^{infty} frac{3^n}{n!}$，计算$lim_{n to infty} frac{3^{n+1}}{（n+1）!} cdot frac{n!}{3^n} = lim_{n to infty} frac{3}{n+1} = 0 < 1$，收敛。

根植法：判断$sum_{n=1}^{infty} frac{n tan（frac{1}{2^n}）}{2^n}$，计算$lim_{n to infty} sqrt[n]{frac{n tan（frac{1}{2^n}）}{2^n}} = frac{1}{2} < 1$，收敛。