自主招生简化题怎么做的

根据题目条件，函数 $f（x） = ax + ccos x$ 在两点处切线相互垂直，求参数 $a$ 的值。我们可以通过以下步骤简化问题：

求导数

函数 $f（x）$ 的导数为：

$$f'(x) = a - csin x$$

设两点的横坐标分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则两点的切线斜率分别为 $a - csin x_1$ 和 $a - csin x_2$。

利用垂直条件

两条切线垂直意味着斜率乘积为 -1：

$$(a - csin x_1)(a - csin x_2) = -1$$

展开后得到：

$$a^2 - ac(sin x_1 + sin x_2) + c^2sin x_1sin x_2 = -1$$

整理为关于 $a$ 的二次方程：

$$a^2 - ac(sin x_1 + sin x_2) + c^2sin x_1sin x_2 + 1 = 0$$

判别式条件

该二次方程有解的条件是判别式 $Delta geq 0$：

$$Delta = (sin x_1 + sin x_2)^2 - 4(c^2sin x_1sin x_2 + 1) geq 0$$

展开后得到：

$$sin^2 x_1 + 2sin x_1sin x_2 + sin^2 x_2 - 4c^2sin x_1sin x_2 - 4 geq 0$$

即：

$$(sin x_1 - sin x_2)^2 geq 4(1 + c^2sin x_1sin x_2)$$

由于 $|sin x_1 - sin x_2| leq 2$，且 $1 + c^2sin x_1sin x_2 leq 2$，唯一可能的情况是：

$$sin x_1 = 1 quad text{且} quad sin x_2 = -1 quad text{或} quad sin x_1 = -1 quad text{且} quad sin x_2 = 1$$

对应的 $cos x_1 = 0$ 和 $cos x_2 = 0$。

求解参数 $a$

将 $sin x_1 = 1$ 和 $sin x_2 = -1$ 代入导数条件：

$$(a - c)(a + c) = -1 quad Rightarrow quad a^2 - c^2 = -1 quad Rightarrow quad a^2 = c^2 - 1$$

但为了满足 $Delta = 0$，必须有 $c = 0$，此时 $a = 0$。

综上，满足条件的参数 $a$ 的值为 0。